Применение фильтра Калмана для обработки последовательности GPS-координат. Современные проблемы науки и образования Используемая модель динамической системы

В процессе автоматизации технологических процессов для управления механизмами и агрегатами приходится сталкиваться с измерениями различных физических величин. Это может быть давление и расход жидкости или газа, частота вращения, температура и многое другое. Измерение физических величин осуществляется с помощью аналоговых датчиков. Аналоговый сигнал - сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным множеством возможных значений . Из непрерывности пространства значений следует, что любая помеха, внесенная в сигнал, неотличима от полезного сигнала. Поэтому на аналоговый вход управляющего устройства будет поступать неверное значение требуемой физической величины. Следовательно, необходимо производить фильтрацию сигнала, поступающего с датчика.

Одним из эффективных алгоритмов фильтрации является фильтр Калмана. Фильтр Калмана - рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений . Фильтр Калмана использует динамическую модель системы (к примеру, физический закон движения), управляющие воздействия и множество последовательных измерений для формирования оптимальной оценки состояния. Алгоритм состоит из двух повторяющихся фаз: предсказание и корректировка. На первом этапе рассчитывается предсказание состояния в последующий момент времени (с учетом неточности их измерения). На втором, новая информация с датчика корректирует предсказанное значение (также с учетом неточности и зашумленности этой информации).

На этапе предсказания происходит:

Предсказание состояния системы:

где – предсказание состояния системы в текущий момент времени; – матрица перехода между состояниями (динамическая модель системы); – предсказание состояния системы в предыдущий момент времени; – матрица применения управляющего воздействия; – управляющее воздействие в предыдущий момент времени.

Предсказание ошибки ковариации:

где – предсказание ошибки; – ошибка в предыдущий момент времени; – ковариация шума процесса.

На этапе корректировки происходит:

Вычисление усиления Калмана:

где – усиление Калмана; – матрица измерений, отображающая отношение измерений и состояний; – ковариация шума измерения.

где – измерение в текущий момент времени.

Обновление ошибки ковариации:

где – матрица идентичности.

Если состояние системы описывается одной переменной, то = 1, а матрицы вырождаются в обычные уравнения.

Чтобы наглядно продемонстрировать эффективность фильтра Калмана, был проведён эксперимент с датчиком громкости AVR PIC KY-037, который подключен к микроконтроллеру Arduino Uno. На рисунке 1 представлен график показаний датчика без применения фильтра (линия 1). Хаотичные колебания значения на выходе датчика свидетельствуют о наличии шумов.

Рисунок 1. График показаний датчика без применения фильтра

Чтобы применить фильтр, необходимо определить значения переменных , и , которые определяют динамику системы и измерений. Примем и равными 1, а равным 0, поскольку управляющих воздействий в системе нет. Для определения сглаживающих свойств фильтра необходимо рассчитать значение переменной , а также подобрать значение параметра .

Расчёт переменной произведём в программе Microsoft Excel 2010. Для этого необходимо рассчитать среднеквадратичное отклонение для выборки значений показаний датчика. = 0,62. подбирается в зависимости от требуемого уровня фильтрации, принимаем = 0,001. На рисунке 2 второй линией представлен график показаний датчика с применением фильтра.

Рисунок 2. График показаний датчика с применением фильтра Калмана

Из графика можно сделать вывод, что фильтр справился с задачей фильтрации помех, поскольку в установившемся режиме колебания показаний датчика, прошедших фильтрацию, незначительны.

Однако у фильтра Калмана есть существенный недостаток. Если измеряемая датчиком величина может резко изменяться, отфильтрованные показания датчика не будут изменяться так же быстро, как измеряемая величина. На рисунке 3 показана реакция фильтра Калмана на скачок измеряемой величины.

Рисунок 3. Реакция фильтра Калмана на скачок измеряемой величины

Реакция фильтра на скачок измеряемой величины оказалась незначительной. Если измеряемая величина значительно изменятся, и не вернётся затем к предыдущему значению, то отфильтрованные показания датчика будут соответствовать реальному значению измеряемой величины только через значительный промежуток времени, что недопустимо для систем автоматического управления, от которых требуется высокое быстродействие.

Из проведённого эксперимента можно сделать вывод о том, что фильтр Калмана целесообразно применять для фильтрации показаний датчиков в системах с низким быстродействием.

Список литературы:

ГОСТ 17657-79. Передача данных. Термины и определения. – Москва: Изд-во стандартов, 2005. – 2 с.
Фильтр Калмана // Википедия. . Дата обновления: 26.04.2017. URL: http://ru.wikipedia.org/?oldid=85061599 (дата обращения: 21.05.2017).

Проведено исследование использования фильтра Калмана в современных разработках комплексированных навигационных систем. Приведен и разобран пример построения математической модели, использующей расширенный фильтр Калмана для повышения точности определения координат беспилотных летательных аппаратов. Рассмотрен частичный фильтр. Сделан краткий обзор научных работ, использующих данный фильтр для повышения надежности и отказоустойчивости навигационных систем. Данная статья позволяет сделать вывод, что использование фильтра Калмана в системах определения местоположения БПЛА практикуется во многих современных разработках. Существует огромное количество вариаций и аспектов такого использования, которое дает и ощутимые результаты в повышении точности, особенно в случае отказа стандартных спутниковых навигационных систем. Это является главным фактором влияния данной технологии на различные научные области, связанные с разработкой точных и отказоустойчивых навигационных систем для различных летательных аппаратов.

фильтр Калмана

навигация

беспилотный летательный аппарат (БПЛА)

1. Макаренко Г.К., Алешечкин А.М. Исследование алгоритма фильтрации при определении координат объекта по сигналам спутниковых радионавигационных систем // Доклады ТУСУРа. – 2012. – № 2 (26). – С. 15-18.

2. Bar-Shalom Y., Li X. R., Kirubarajan T. Estimation with Applications

to Tracking and Navigation // Theory Algorithms and Software. – 2001. – Vol. 3. – P. 10-20.

3. Bassem I.S. Vision based Navigation (VBN) of Unmanned Aerial Vehicles (UAV) // UNIVERSITY OF CALGARY. – 2012. – Vol. 1. – P. 100-127.

4. Conte G., Doherty P. An Integrated UAV Navigation System Based on Aerial Image Matching // Aerospace Conference. – 2008. –Vol. 1. – P. 3142-3151.

5. Guoqiang M., Drake S., Anderson B. Design of an extended kalman filter for uav localization // In Information, Decision and Control. – 2007. – Vol. 7. – P. 224–229.

6. Ponda S.S Trajectory Optimization for Target Localization Using Small Unmanned Aerial Vehicles // Massachusetts institute of technology. – 2008. – Vol. 1. – P. 64-70.

7. Wang J., Garrat M., Lambert A. Integration of gps/ins/vision sensors to navigate unmanned aerial vehicles // IAPRS&SIS. – 2008. – Vol. 37. – P. 963-969.

Одной из актуальных задач современной навигации беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) является задача повышения точности определения координат. Эта задача решается путём использования различных вариантов комплексирования навигационных систем. Одним из современных вариантов комплексирования является сочетание gps/глонасс-навигации с расширенным фильтром Калмана (Extended Kalmanfilter), рекурсивно оценивающего точность с помощью неполных и зашумленных измерений. В данный момент существуют и разрабатываются различные вариации расширенного фильтра Калмана, включающие разнообразное число переменных состояний . В этой работе мы покажем, насколько эффективным может быть его использование в современных разработках. Рассмотрим одно из характерных представлений подобного фильтра .

Построение математической модели

В данном примере мы будем говорить только о движении БПЛА в горизонтальной плоскости, иначе, мы рассмотрим так называемую проблему 2d локализации . В нашем случае это оправдано тем, что для многих практически встречающихся ситуаций БПЛА может оставаться примерно на одной и той же высоте. Это предположение широко используется для упрощения моделирования динамики летательных аппаратов . Динамическая модель БПЛА задается следующей системой уравнений:

где {} - координаты БПЛА в горизонтальной плоскости как функции времени, направление БПЛА, угловая скорость БПЛА, и vпутевая скорость БПЛА, функции и будем считать постоянными. Они взаимно независимы, с известными ковариациями и , равными и соответственно и используются для моделирования изменений ускорения БПЛА, вызванных ветром, маневрами пилота и т.д. Значения и являются производными от максимальной угловой скорости БПЛА и опытных значений изменений линейной скорости БЛА, - символ Кронекера.

Данная система уравнений будет приближенной из-за нелинейности в модели и из-за присутствия шума. Самый простой способ аппроксимации в данном случае - это приближение методом Эйлера. Дискретная модель динамической системы движения БПЛА показана ниже.

дискретный вектор состояний фильтра Калмана, позволяющий аппроксимировать значение непрерывного вектора состояний. ∆ - временной интервал между k и k+1 измерениями. {} и {} - последовательности значений белого гауссовского шума с нулевым средним значением. Матрица ковариации для первой последовательности:

Аналогично, для второй последовательности:

Выполнив соответствующие замены в уравнениях системы (2), получаем:

Последовательности и взаимно независимы. Они также являются последовательностями белого гауссовского шума с нулевым средним значением и с матрицами ковариации и соответственно. Преимущество этой формы в том, что она показывает изменение дискретного шума в интервале между каждыми измерениями. В итоге получаем следующую дискретную динамическую модель:

(3)

Уравнение для :

= + , (4)

где, х и y - координаты БПЛА в k-момент времени, а гауссовская последовательность случайных параметров с нулевым средним значением, которая используется для задания погрешности. Предполагается, что эта последовательность не зависит от {} и {}.

Выражения (3) и (4) служат основой для оценки местоположения БПЛА, где к-е координаты получены с помощью расширенного фильтра Калмана. Моделлирование отказа навигационных систем применительно к данному типу фильтра показывает его существенную эффективность .

Для большей наглядности приведем небольшой простой пример. Пусть некоторый БПЛА летит равноускоренно, с некоторым постоянным ускорением а.

Где, х - координата БПЛА в t-момент времени, а δ - некоторая случайная величина.

Предположим, что у нас есть gps-сенсор, который получает данные о местоположении летательного аппарата. Представим результат моделирования данного процесса в программном пакете MATLAB.

Рис. 1. Фильтрация показания сенсора с помощью фильтра Калмана

На рис. 1 видно, насколько эффективным может быть использование фильтрации по алгоритму Калмана.

Однако в реальной ситуации сигналы зачастую имеют нелинейную динамику и ненормальный шум. Именно в таких случаях и используется расширенный фильтр Калмана. В том случае, если дисперсии шумов не слишком велики (т.е. линейная аппроксимация является адекватной), применение расширенного фильтра Калмана дает решение задачи с высокой точностью. Однако в том случае, когда шумы не являются гауссовскими, расширенный фильтр Калмана применять нельзя. В этом случае обычно применяют частичный фильтр, в котором используются численные методы взятия интегралов на основе методов Монте Карло с марковскими цепями.

Частичный фильтр

Представим один из алгоритмов, развивающих идеи расширенного фильтра Калмана - частичный фильтр. Частичная фильтрация является неоптимальным способом фильтрации, который работает при выполнении объединения методом Монте-Карло на множестве частиц, которые представляют собой распределение вероятностей процесса. Здесь частица это элемент, взятый из априорного распределения оцениваемого параметра. Основная идея частичного фильтра заключается в том, что большое количество частиц может быть использовано для представления оценки распределения. Чем большее число частиц используется, тем точнее множество частиц будет представлять априорное распределение. Фильтр частиц инициализируется помещением в него N частиц из априорного распределения параметров, которые мы хотим оценить. Алгоритм фильтрации предполагает прогон этих частиц через специальную систему, а затем взвешивание с помощью информации, полученной от измерения данных частиц. Полученные частицы и связанные с ними массы представляют апостериорное распределение оценочного процесса. Цикл повторяется для каждого нового измерения, и веса частиц обновляются для представления последующего распределения. Одна из основных проблем с традиционным подходом фильтрации частиц состоит в том, что в результате такой подход обычно имеет несколько частиц, имеющих очень большой вес, в отличие от большинства остальных, вес которых очень незначителен. Это приводит к нестабильности фильтрации . Эта проблема может быть решена введением частоты дискретизации, где N новых частиц берется из распределения, составленного из старых частиц. Результат оценки получают путем получения выборки среднего значения множества частиц. Если мы имеем несколько независимых выборок, то средняя выборка будет точной оценкой среднего значения, задающей конечную дисперсию.

Даже если фильтр частиц является неоптимальным, то при стремлении количества частиц к бесконечности эффективность алгоритма приближается в байесову правилу оценивания. Поэтому желательно иметь столько частиц, сколько возможно, чтобы получить наилучший результат. К сожалению, это приводит к сильному увеличению сложности вычислений, а, следовательно, вынуждает к поиску компромисса между точностью и скоростью расчета. Итак, число частиц должно быть выбрано исходя из требований к задаче оценки точности. Еще одним важным фактором для работы фильтра частиц является ограничение на частоту дискретизации. Как упоминалось ранее, частота дискретизации является важным параметром фильтрации частиц и без него в конечном итоге алгоритм становится вырождающимся. Идея заключается в том, что если веса распределяются слишком неравномерно и порог дискретизации скоро будет достигнут, то частицы с низким весом отбрасываются, и оставшееся множество образует новую вероятностную плотность, для которой могут браться новые выборки. Выбор порога частоты дискретизации представляет собой довольно сложную задачу, ведь слишком высокая частота служит причиной чрезмерной чувствительности фильтра к шуму, а слишком низкая дает большую погрешность. Также важным фактором является плотность вероятности .

В целом, алгоритм фильтрации частиц показывает хорошую производительность расчета местоположения для стационарных целей и в случае относительно медленно движущихся целей с неизвестной динамикой ускорения. В общем случае, алгоритм фильтрации частиц является более стабильным, чем расширенный фильтр Калмана, и менее склонным к вырождению и серьезным сбоям. В случаях нелинейного, негауссового распределения данный алгоритм фильтрации показывает весьма хорошую точность определения местоположения цели, в то время как алгоритм расширенной фильтрации Калмана нельзя использовать при таких условиях. К минусам данного подхода можно отнести его более высокую сложность относительно расширенного фильтра Калмана, а также то, что не всегда очевидно, как правильно подобрать параметры для этого алгоритма.

Перспективные исследования в данной области

Использование модели фильтра Калмана, подобной той, что привели мы, можно видеть в , где он используется для улучшения характеристик комплексированной системы (GPS + модель компьютерного зрения для сопоставления с географической базой), и также моделируется ситуация отказа спутникового навигационного оборудования. С помощью фильтра Калмана результаты работы системы в случае отказа были существенно улучшены (например, погрешность в определении высоты была снижена примерно в два раза, а погрешности в определении координат по разным осям снижены практически в 9 раз). Аналогичное использование фильтра Калмана приведено также в .

Интересная с точки зрения совокупности методов задача решается в . Там также используется фильтр Калмана с 5 состояниями, с некоторыми отличиями в построении модели. Полученный результат превосходит результат приведенной нами модели за счет использования дополнительных средств комплексирования (используются фото и тепловизионные изображения). Применение фильтра Калмана в данном случае позволяет уменьшить погрешность определения пространственных координат заданной точки до значения 5,5 м.

Заключение

В заключение отметим, что использование фильтра Калмана в системах определения местоположения БПЛА практикуется во многих современных разработках. Существует огромное количество вариаций и аспектов такого использования, вплоть до одновременного применения нескольких подобных фильтров с разными факторами состояний . Одним из наиболее перспективных направлений развития Калмановских фильтров видится работа над созданием модифицированного фильтра, погрешности которого будут представлены цветным шумом, что сделает его еще более ценным для решения реальных задач. Также большой интерес в данной области представляет собой частичный фильтр, с помощью которого можно фильтровать негауссовские шумы. Названное разнообразие и ощутимые результаты в повышении точности, особенно в случае отказа стандартных спутниковых навигационных систем, являются главными факторами влияния данной технологии на различные научные области, связанные с разработкой точных и отказоустойчивых навигационных систем для различных летательных аппаратов.

Рецензенты:

Лабунец В.Г., д.т.н., профессор, профессор кафедры теоретических основ радиотехники Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург;

Иванов В.Э., д.т.н., профессор, зав. кафедрой технологии и средств связи Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Библиографическая ссылка

Гаврилов А.В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УТОЧНЕНИЯ КООРДИНАТ БПЛА // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=19453 (дата обращения: 01.02.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Фильтр Калмана

Фильтр Калмана широко используется в инженерных и эконометрических приложениях: от радаров и систем технического зрения до оценок параметров макроэкономических моделей . Калмановская фильтрация является важной частью теории управления , играет большую роль в создании систем управления. Совместно с линейно-квадратичным регулятором фильтр Калмана позволяет решить задачу линейно-квадратичного гауссовского управления . Фильтр Калмана и линейно-квадратичный регулятор - возможное решение большинства фундаментальных задач в теории управления.

В большинстве приложений количество параметров, задающих состояние объекта, больше, чем количество наблюдаемых параметров, доступных для измерения. При помощи модели объекта по ряду доступных измерений фильтр Калмана позволяет получить оценку внутреннего состояния.

Фильтр Калмана предназначен для рекурсивного дооценивания вектора состояния априорно известной динамической системы, то есть для расчёта текущего состояния системы необходимо знать текущее измерение, а также предыдущее состояние самого фильтра. Таким образом, фильтр Калмана, как и множество других рекурсивных фильтров, реализован во временно́м, а не в частотном представлении.

Наглядный пример возможностей фильтра - получение точных, непрерывно обновляемых оценок положения и скорости некоторого объекта по результатам временно́го ряда неточных измерений его местоположения. Например, в радиолокации стоит задача сопровождения цели, определения её местоположения, скорости и ускорения, при этом результаты измерений поступают постепенно и сильно зашумлены. Фильтр Калмана использует вероятностную модель динамики цели, задающую тип вероятного движения объекта, что позволяет снизить воздействие шума и получить хорошие оценки положения объекта в настоящий, будущий или прошедший момент времени.

Введение

Фильтр Калмана оперирует понятием вектора состояния системы (набором параметров, описывающих состояние системы на некоторый момент времени) и его статистическим описанием. В общем случае динамика некоторого вектора состояния описывается плотностями вероятности распределения его компонент в каждый момент времени. При наличии определенной математической модели производимых наблюдений за системой, а также модели априорного изменения параметров вектора состояния (а именно - в качестве марковского формирующего процесса) можно записать уравнение для апостериорной плотности вероятности вектора состояния в любой момент времени. Данное дифференциальное уравнение носит название уравнение Стратоновича. Уравнение Стратоновича в общем виде не решается. Аналитическое решение удается получить только в случае ряда ограничений (предположений):

гауссовости априорных и апостериорных плотностей вероятности вектора состояния на любой момент времени (в том числе начальный)
гауссовости формирующих шумов
гауссовости шумов наблюдений
белости шумов наблюдений
линейности модели наблюдений
линейности модели формирующего процесса (который, напомним, должен являться марковским процессом)

Классический фильтр Калмана является уравнениями для расчета первого и второго момента апостериорной плотности вероятности (в смысле вектора математических ожиданий и матрицы дисперсий, в том числе взаимных) при данных ограничениях. Ввиду того, что для нормальной плотности вероятности математическое ожидание и дисперсионная матрица полностью задают плотность вероятности, можно сказать, что фильтр Калмана рассчитывает апостериорную плотность вероятности вектора состояния на каждый момент времени. А значит полностью описывает вектор состояния как случайную векторную величину.

Расчетные значения математических ожиданий при этом являются оптимальными оценками по критерию среднеквадратической ошибки, что и обуславливает его широкое применение.

Существует несколько разновидностей фильтра Калмана, отличающихся приближениями и ухищрениями, которые приходится применять для сведения фильтра к описанному виду и уменьшения его размерности:

Расширенный фильтр Калмана (EKF, Extended Kalman filter). Сведение нелинейных моделей наблюдений и формирующего процесса с помощью линеаризации посредством разложения в ряд Тейлора .
Unscented Kalman filter (UKF). Используется в задачах, в которых простая линеаризация приводит к уничтожению полезных связей между компонентами вектора состояния. В этом случае «линеаризация» основана на unscented -преобразовании.
Ensemble Kalman filter (EnKF). Используется для уменьшения размерности задачи.
Возможны варианты с нелинейным дополнительным фильтром, позволяющим привести негауссовские наблюдения к нормальным.
Возможны варианты с «обеляющим» фильтром, позволяющим работать с «цветными» шумами
и т. д.

Используемая модель динамической системы

Фильтры Калмана базируются на дискретизированных по времени линейных динамических системах . Такие системы моделируются цепями Маркова при помощи линейных операторов и слагаемых с нормальным распределением . Состояние системы описывается вектором конечной размерности - вектором состояния . В каждый такт времени линейный оператор действует на вектор состояния и переводит его в другой вектор состояния (детерминированное изменение состояния), добавляется некоторый вектор нормального шума (случайные факторы) и в общем случае вектор управления, моделирующий воздействие системы управления. Фильтр Калмана можно рассматривать как аналог скрытым моделям Маркова , с тем отличием, что переменные, описывающие состояние системы, являются элементами бесконечного множества действительных чисел (в отличие от конечного множества пространства состояний в скрытых моделях Маркова). Кроме того, скрытые модели Маркова могут использовать произвольные распределения для последующих значений вектора состояния, в отличие от фильтра Калмана, использующего модель нормально распределенного шума. Существует строгая взаимосвязь между уравнениями фильтра Калмана и скрытой модели Маркова. Обзор этих и других моделей дан Roweis и Chahramani (1999) .

При использовании фильтра Калмана для получения оценок вектора состояния процесса по серии зашумленных измерений необходимо представить модель данного процесса в соответствии со структурой фильтра - в виде матричного уравнения определенного типа. Для каждого такта k работы фильтра необходимо в соответствии с приведенным ниже описанием определить матрицы: эволюции процесса F k ; матрицу наблюдений H k ; ковариационную матрицу процесса Q k ; ковариационную матрицу шума измерений R k ; при наличии управляющих воздействий - матрицу их коэффициентов B k .

Иллюстрация работы фильтра. Квадратами помечены матрицы . Эллипсами помечены матрицы многомерных нормальных распределений (включая средние значения и ковариации). Не обведёнными оставлены векторы . В простейшем случае некоторые матрицы не изменяются во времени (не зависят от индекса k ), но всё равно используются фильтром в каждый такт работы.

Модель системы/процесса подразумевает, что истинное состояние в момент k получается из истинного состояния в момент k −1 в соответствии с уравнением:

F k - матрица эволюции процесса/системы, которая воздействует на вектор x k −1 (вектор состояния в момент k −1 );
B k - матрица управления, которая прикладывается к вектору управляющих воздействий u k ;
w k - нормальный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Q k , который описывает случайный характер эволюции системы/процесса:

В момент k производится наблюдение (измерение) z k истинного вектора состояния x k , которые связаны между собой уравнением:

где H k - матрица измерений, связывающая истинный вектор состояния и вектор произведенных измерений, v k - белый гауссовский шум измерений с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей R k :

Начальное состояние и векторы случайных процессов на каждом такте {x 0 , w 1 , …, w k , v 1 , …, v k } считаются независимыми .

Многие реальные динамические системы нельзя точно описать данной моделью. На практике неучтённая в модели динамика может серьёзно испортить рабочие характеристики фильтра, особенно при работе с неизвестным стохастическим сигналом на входе. Более того, неучтённая в модели динамика может сделать фильтр неустойчивым . С другой стороны, независимый белый шум в качестве сигнала не будет приводить к расхождению алгоритма. Задача отделения шумов измерений от неучтенной в модели динамики сложна, решается она с помощью теории робастных систем управления .

Фильтр Калмана

Фильтр Калмана является разновидностью рекурсивных фильтров . Для вычисления оценки состояния системы на текущий такт работы ему необходима оценка состояния (в виде оценки состояния системы и оценки погрешности определения этого состояния) на предыдущем такте работы и измерения на текущем такте. Данное свойство отличает его от пакетных фильтров, требующих в текущий такт работы знание истории измерений и/или оценок. Далее под записью будем понимать оценку истинного вектора в момент n с учетом измерений с момента начала работы и по момент m включительно.

Состояние фильтра задается двумя переменными:

Итерации фильтра Калмана делятся на две фазы: экстраполяция и коррекция. Во время экстраполяции фильтр получает предварительную оценку состояния системы (в русскоязычной литературе часто обозначается , где означает «экстраполяция», а k - номер такта, на котором она получена) на текущий шаг по итоговой оценке состояния с предыдущего шага (либо предварительную оценку на следующий такт по итоговой оценке текущего шага, в зависимости от интерпретации). Эту предварительную оценку также называют априорной оценкой состояния, так как для её получения не используются наблюдения соответствующего шага. В фазе коррекции априорная экстраполяция дополняется соответствующими текущими измерениями для коррекции оценки. Скорректированная оценка также называется апостериорной оценкой состояния, либо просто оценкой вектора состояния . Обычно эти две фазы чередуются: экстраполяция производится по результатам коррекции до следующего наблюдения, а коррекция производится совместно с доступными на следующем шаге наблюдениями, и т. д. Однако возможно и другое развитие событий, если по некоторой причине наблюдение оказалось недоступным, то этап коррекции может быть пропущен и выполнена экстраполяция по нескорректированной оценке (априорной экстраполяции). Аналогично, если независимые измерения доступны только в отдельные такты работы, всё равно возможны коррекции (обычно с использованием другой матрицы наблюдений H k ).

Этап экстраполяции

Этап коррекции

Отклонение полученного на шаге k наблюдения от наблюдения, ожидаемого при произведенной экстраполяции:
Ковариационная матрица для вектора отклонения (вектора ошибки):
Оптимальная по Калману матрица коэффициентов усиления, формирующаяся на основании ковариационных матриц имеющейся экстраполяции вектора состояния и полученных измерений (посредством ковариационной матрицы вектора отклонения):
Коррекция ранее полученной экстраполяции вектора состояния - получение оценки вектора состояния системы:
Расчет ковариационной матрицы оценки вектора состояния системы:

Выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния системы справедливо только при использовании приведенного оптимального вектора коэффициентов. В общем случае это выражение имеет более сложный вид.

Инварианты

Если модель абсолютно точна и абсолютно точно заданы начальные условия и , то следующие величины сохраняются после любого количества итераций работы фильтра - являются инвариантами:

Математические ожидания оценок и экстраполяций вектора состояния системы, матрицы ошибок являются нуль-векторами:

где - математическое ожидание .

Расчетные матрицы ковариаций экстраполяций, оценок состояния системы и вектора ошибок совпадают с истинными матрицами ковариаций:

Пример построения фильтра

Представим себе вагонетку , стоящую на бесконечно длинных рельсах при отсутствии трения . Изначально она покоится в позиции 0, но под действием случайных факторов на неё действует случайное ускорение . Мы измеряем положение вагонетки каждые ∆t секунд, но измерения неточны. Мы хотим получать оценки положения вагонетки и её скорости. Применим к этой задаче фильтр Калмана, определим все необходимые матрицы.

В данной задаче матрицы F , H , R и Q не зависят от времени, опустим их индексы. Кроме того, мы не управляем вагонеткой, поэтому матрица управления B отсутствует.

Координата и скорость вагонетки описывается вектором в линейном пространстве состояний

где - скорость (первая производная координаты по времени).

Будем считать, что между (k −1 )-ым и k -ым тактами вагонетка движется с постоянным ускорением a k , распределенным по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ a . В соответствии с механикой Ньютона можно записать

Ковариационная матрица случайных воздействий

(σ a - скаляр).

На каждом такте работы производится измерение положения вагонетки. Предположим, что погрешность измерений v k имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением σ z . Тогда

и ковариационная матрица шума наблюдений имеет вид

Начальное положение вагонетки известно точно

, .

Если же положение и скорость вагонетки известна лишь приблизительно, то можно инициализировать матрицу дисперсий достаточно большим числом L , чтобы при этом число превосходило дисперсию измерений координаты

, .

В этом случае на первых тактах работы фильтр будет с бо́льшим весом использовать результаты измерений, чем имеющуюся априорную информацию.

Вывод формул

Ковариационная матрица оценки вектора состояния

По определению ковариационной матрицы P k |k

подставляем выражение для оценки вектора состояния

и расписываем выражение для вектора ошибок

и вектора измерений

выносим вектор погрешности измерений v k

так как вектор погрешности измерений v k не коррелирован с другими аргументами, получаем выражение

в соответствии со свойствами ковариации векторов данное выражение преобразуется к виду

заменяя выражение для ковариационной матрицы экстраполяции вектора состояния на P k |k −1 и определение ковариационной матрицы шумов наблюдений на R k , получаем

Полученное выражение справедливо для произвольной матрицы коэффициентов, но если в качестве неё выступает матрица коэффициентов, оптимальная по Калману, то данное выражение для ковариационной матрицы можно упростить.

Оптимальная матрица коэффициентов усиления

Фильтр Калмана минимизирует сумму квадратов математических ожиданий ошибок оценки вектора состояния.

Вектор ошибки оценки вектора состояния

Стоит задача минимизировать сумму математических ожиданий квадратов компонент данного вектора

что эквивалентно минимизации следа ковариационной матрицы оценки вектора состояния P k |k . Подставим в выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния имеющиеся выражения и дополним до полного квадрата:

Заметим что, последнее слагаемое является ковариационной матрицей некоторой случайной величины, поэтому его след неотрицателен. Минимум следа достигнется при обнулении последнего слагаемого:

Утверждается, что данная матрица является искомой и при использовании в качестве матрицы коэффициентов в фильтре Калмана минимизирует сумму средних квадратов ошибок оценки вектора состояния.

Ковариационная матрица оценки вектора состояния при использовании оптимальной матрицы коэффициентов

Выражение для ковариационной матрицы оценки вектора состояния P k |k при использовании оптимальной матрицы коэффициентов примет вид:

Данная формула вычислительно проще и поэтому практически всегда используется на практике, но она корректна только при использовании оптимальной матрицы коэффициентов. Если ввиду малой вычислительной точности возникает проблема с вычислительной устойчивостью, либо специально используется матрица коэффициентов, отличная от оптимальной, следует использовать общую формулу для ковариационной матрицы оценки вектора состояния.

Этот фильтр применяют в разных областях – от радиотехники до экономики. Здесь мы обсудим основную идею, смысл, суть данного фильтра. Излагаться она будет максимально простым языком.
Предположим, что у нас есть необходимость в измерениях некоторых величин некоего объекта. В радиотехнике чаще всего имеют дело с измерениями напряжений на выходе некоего устройства (датчика, антенны и т.д.). В примере с электрокардиографом (см. ) мы имеем дело с измерениями биопотенциалов на теле человека. В экономике, например, измеряемой величиной могут быть курсы валют. Каждыё день курс валют разный, т.е. каждый день “его измерения” дают нам разную величину. А если обобщать, то можно сказать, что большая часть деятельности человека (если не вся) сводится именно к постоянным измерениям-сравнениям тех или иных величин (см. книгу).
Итак, предположим, что мы что-то постоянно измеряем. Так же предположим, что наши измерения всегда идут с некоторой ошибкой – оно и понятно, ведь нет идеальных измерительных приборов, и каждый выдаёт результат с ошибкой. В простейшем случае описанное можно свести к следующему выражению: z=x+y, где x – истинное значение, которое мы хотим измерить и которое измерили бы если бы у нас был идеальный измерительный прибор, y – ошибка измерения, вносимая измерительным прибором, а z – измеренная нами величина. Так вот задача фильтра Калмана состоит в том, чтобы по измеренной нами z всё-таки догадаться (определить), а какое же истинное значение x было, когда мы получали нашу z (в которой "сидит" истинное значение и ошибка измерения). Необходимо отфильтровать (отсеять) из z истинное значение x – убрать из z искажающий шум y. То есть, имея на руках только лишь сумму нам необходимо догадаться о том, какие слагаемые дали эту сумму.
В свете вышеописанного сформулируем теперь всё следующим образом. Пусть есть всего лишь два случайных числа. Нам даётся только их сумма и от нас требуется по этой сумме определить, какими являются слагаемые. Например, нам дали число 12 и говорят: 12 – это сумма чисел x и y, вопрос – чему равны x и y. Чтобы ответить на этот вопрос, составляем уравнение: x+y=12. Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому, строго говоря, найти два числа которые и дали эту сумму не возможно. Но кое-что об этих числах мы всё-таки можем сказать. Мы можем сказать, что это были либо числа 1 и 11, либо 2 и 10, либо 3 и 9, либо 4 и 8 и т.д., также это либо 13 и -1, либо 14 и -2, либо 15 и -3 и т.д. То есть мы можем по сумме (в нашем примере 12) определить множество возможных вариантов, которые дают в сумме именно 12. Один из этих вариантов – это искомая нами пара, которая на самом деле прямо сейчас и дала 12. Нелишне так же отметить, что все варианты пар чисел дающих в сумме 12 образуют прямую, изображённую на рис.1, которая и задаётся уравнением x+y=12 (y=-x+12).

Рис.1

Таким образом, искомая нами пара лежит где-то на этой прямой. Повторюсь, выбрать из всех этих вариантов ту пару, которая была на самом деле – которая дала число 12, не владея какими-либо дополнительными подсказками, невозможно. Однако, в ситуации, для которой изобретён фильтр Калмана, такие подсказки есть . Там заранее о случайных числах кое-что известно. В частности там известна так называемая гистограмма распределения для каждой пары чисел. Она обычно бывает получена после достаточно длительных наблюдений за выпадениями этих самых случайных чисел. То есть, например, из опыта известно, что в 5% случаев обычно выпадает пара x=1, y=8 (обозначим эту пару так: (1,8)), в 2% случаев пара x=2, y=3 (2,3), в 1% случаев пара (3,1), в 0.024% случаев пара (11,1) и т.д. Повторюсь, эта гистограмма задана для всех пар чисел, в том числе и для тех, что образуют в сумме 12. Таким образом, для каждой пары, что даёт в сумме 12, мы можем сказать, что, например, пара (1, 11) выпадает в 0.8% случаев, пара (2, 10) – в 1% случаев, пара (3, 9) – в 1.5% случаев и т.д. Таким образом, мы можем по гистограмме определить, в скольких процентах случаев сумма слагаемых пары равна 12. Пусть, например, в 30% случаев сумма даёт 12. А в остальных 70% выпадают остальные пары – это (1,8), (2,3), (3,1) и т.д. – те, что в сумме дают числа отличные от 12. Причём пусть, например, пара (7,5) выпадает в 27% случаев в то время, как все остальные пары, что дают в сумме 12, выпадают в 0.024%+0.8%+1%+1.5%+…=3% случаев. Итак, по гистограмме мы выяснили, что числа дающие в сумме 12 выпадают в 30% случаев. При этом мы знаем, что если выпало 12, то чаще всего (в 27% из 30%) причиной этого является пара (7,5). То есть если уже выпало 12, то мы можем сказать, что в 90% (27% из 30% – или, что то же самое 27 раз из каждых 30-ти) причиной выпадения 12 является пара (7,5). Зная, что чаще всего причиной получения суммы равной 12 является пара (7,5) логично предположить, что, скорее всего, она выпала и сейчас. Конечно, всё-таки не факт, что на самом деле сейчас число 12 образовано именно этой парой, однако, в следующие разы, если нам попадётся 12, и мы опять предположим пару (7,5), то где-то в 90% случаев из 100% окажемся правы. А вот если мы будем предполагать пару (2, 10), то окажемся правы лишь в 1% из 30% случаев, что равно 3.33% правильных догадок по сравнению с 90% при предположении пары (7,5). Вот и всё – в этом и состоит смысл алгоритма фильтра Калмана. То есть фильтр Калмана не гарантирует, что не ошибётся в определении слагаемого по сумме, однако он гарантирует, что ошибётся минимальное количество раз (вероятность ошибки будет минимальна), так как использует статистику – гистограмму выпадения пар чисел. Так же необходимо подчеркнуть, что часто в алгоритме фильтрации Калмана используется так называемая плотность распределения вероятности (ПРВ). Однако необходимо понимать, что смысл там тот же, что и у гистограммы. Более того, гистограмма – это функция, построенная на основе ПРВ и являющаяся её приближением (см., например, ).
В принципе мы эту гистограмму можем изобразить в виде функции двух переменных – то есть в виде некоей поверхности над плоскостью xy. Там, где поверхность выше, там выше и вероятность выпадения соответствующей пары. На рис.2 изображена такая поверхность.

рис.2

Как видно над прямой x+y=12 (которая есть варианты пар дающих в сумме 12) расположены точки поверхности на разной высоте и наибольшая высота у варианта с координатами (7,5). И когда нам встречается сумма равная 12, в 90% случаев причиной появления этой суммы является именно пара (7,5). Т.е. именно эта пара, дающая в сумме 12, имеет наибольшую вероятность появления при условии, что сумма равна 12.
Таким образом, здесь описана идея лежащая в основе фильтра Калмана. Именно на ней и построены всевозможные его модификации – одношаговые, многошаговые рекуррентные и т.д. Для более глубокого изучения фильтра Калмана рекомендую книгу: Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции.

p.s. Для того, кто интересуется объяснениями понятий математики что называется "на пальцах" можно посоветовать вот эту книгу и в частности главы из её раздела "Математика" (саму книгу или отдельные главы из неё вы можете приобрести ).

Транскрипт

1 # 09, сентябрь 2015 УДК Применение фильтра Калмана для обработки последовательности GPS-координат Листеренко Р.Р., бакалавр Россия, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии» Научный руководитель: Бекасов Д.Е., ассистент Россия, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии» Задача фильтрации GPS-координат В настоящее время широко используются сервисы GPS-трекинга, задачей которых является отслеживание маршрутов наблюдаемых объектов с целью их сохранения и дальнейшего воспроизведения и анализа. Однако из-за погрешности GPS-датчика, обусловленной рядом причин , таких как потеря сигнала от спутника, изменение геометрии расположения спутников, отражение сигналов, вычислительные ошибки и ошибки округления, итоговый результат не соответствует в точности маршруту объекта. Наблюдаются как незначительные отклонения (в пределах 100 м), не затрудняющие восприятие визуальной информации о маршруте и его анализ, так и весьма значительные (до 1 км, в случае потери сигнала спутников и использования базовых станций до нескольких десятков км). Для демонстрации результата приведенного в статье алгоритма используется маршрут, содержащий отклонения от действительного местоположения, превышающие несколько километров. С целью коррекции таких погрешностей разрабатывается алгоритм, выполняющий преобразование последовательности координат. Входными данными для алгоритма служит последовательность GPS-координат. В каждой координате содержится следующая информация, полученная от датчика: Широта Долгота Азимут в градусах Мгновенная скорость объекта в данной точке в м/с

2 Возможное отклонение координат объекта от истинного значения в метрах Время получения координаты датчиком Результатом работы алгоритма является последовательность координат с скорректированной широтой и долготой. В качестве основы для построения алгоритма решено использовать фильтр Калмана, так как он позволяет отдельно учитывать погрешности измерений и погрешности случайного процесса, а также использовать получаемую от датчика скорость движения объекта . Построение математической модели с использованием фильтра Калмана Для использования фильтра Калмана необходимо, чтобы исследуемый процесс описывался следующим образом : = + + (1) = + (2) В формуле (1) - вектор состояния процесса, A - матрица размерностью n n, описывающая переход наблюдаемого процесса из состояния в состояние. Вектор описывает управляющие воздействия на процесс. Матрица B размерностью n l отображает вектор управляющих воздействий u в изменение состояния s. является случайной величиной, описывающей погрешности исследуемого процесса, причем ~0, где Q - ковариационная матрица погрешностей процесса. Формула (2) описывает измерения случайного процесса. - вектор измеряемого состояния процесса, матрица H размерностью m n отображает состояние процесса в измерение процесса. - случайная величина, характеризующая погрешности измерений, причем ~0, где P - ковариационная матрица погрешностей измерений. Так как исследуется процесс движения объекта, уравнение состояния составляется исходя из уравнения движения тела = + +!" #$ % & ". Кроме того, отсутствует дополнительная информация о процессе движения, поэтому считается, что управляющее воздействие равно 0. За состояние процесса принят вектор = + () *, -. +, где x, y - координаты объекта, - проекции скорости объекта. Таким образом, для рассматриваемого процесса уравнение (1) принимает следующий вид: = + /!, (3) Молодежный научно-технический вестник ФС, ISSN

3 где = ! = 3! + 7 " 0 ; 6 2: 6 " / = : 6 0: 6 2: 6 0: , (4)!,4, (5) (6) В данной модели ускорение объекта рассматривается как случайная погрешность процесса. Принимаются следующие допущения: а) Ускорения по разным осям являются независимыми случайными величинами.),* б)

4 = AB = C. C E. = C/!!. /. = / C!!. /. Так как компоненты вектора ak (5) являются независимыми случайными величинами, то C!!. = " 0 " G. Следовательно, формула (7) принимает следующий вид: = / " (8) Вектор измерения zk для данной задачи представляется следующим образом: H I = 0 + J, J (7) 2, (9) где H, I - координаты объекта, полученные от датчика, J +,J, - скорость объекта, полученная от датчика. Матрица H в формуле (2) принимается равной единичной матрице размерностью 4 4, так как в рамках данной задачи считается, что измерение есть линейная комбинация вектора состояния и некоторых случайных погрешностей. Ковариационная матрица погрешности измерений R считается заданной. Один из возможных вариантов ее вычисления - использование данных о предполагаемой точности измерения, получаемых от датчика. Применение фильтра Калмана к построенной модели Для применения фильтра необходимо ввести следующие понятия: - апостериорная оценка состояния объекта в момент k, полученная по результатам наблюдений вплоть до момента k включительно. L - нескорректированная апостериорная оценка состояния объекта в момент времени k. - апостериорная ковариационная матрица ошибок, задающая оценку точности полученной оценки вектора состояния и включающая в себя оценку дисперсий погрешности вычисленного состояния и ковариации, показывающие выявленные взаимосвязи между параметрами состояния системы. L - нескорректированная апостериорная ковариационная матрица ошибок. Матрица P0 задается как нулевая, так как считается, что известно начальное положение объекта. Молодежный научно-технический вестник ФС, ISSN

5 Одна итерация фильтра Калмана состоит из двух этапов: экстраполяция и коррекция. а) На этапе экстраполяции вычисляется оценка L по оценке вектора состояния L и ковариационная матрица ошибок L по следующим формулам: L =, (10) L =. +, (11) где матрица Ak известна из формулы (4), матрица Qk вычисляется по формуле (8). б) На этапе коррекции вычисляется матрица коэффициентов усиления Kk по следующей формуле: M = L. L. + (12) где R, H считаются известными. Kk используется для коррекции оценки состояния объекта L и ковариационной матрицы ошибок L следующим образом: = L + M L, (13) = N M L, (14) где I - единичная матрица. Следует заметить, что для использования указанных выше соотношений, необходимо, чтобы для параметров объекта, участвующих в вычислениях, единицы измерений были согласованы. Однако в исходных данных широта и долгота приводятся в угловых координатах, а скорость в метрических. Кроме того, ускорение для расчета ошибки процесса также удобнее задавать в метрических единицах. Для перевода скорости и ускорения в угловые единицы используются формулы Винченти . Результат работы фильтра На рис. 1 приведен пример маршрута до обработки. Можно заметить, что в данном примере присутствуют несколько координат с высокой степенью погрешности, что выражается в наличии «пиков» координат, значительно удаленных от основного маршрута. На рис. 2 приведен результат работы фильтра с данным маршрутом.

6 Рис. 1. Маршрут объекта Рис. 2. Маршрут объекта после применения фильтра В результате практически отсутствуют «пики», за исключением самого крупного, который был заметно уменьшен, и сглажена остальная часть маршрута. Таким образом, с помощью приведенного алгоритма удалось снизить степень искажений маршрута и повысить его визуальное качество. Заключение В данной работе был рассмотрен подход к коррекции GPS-координат с помощью фильтра Калмана. С помощью приведенного алгоритма удалось устранить наиболее заметные искажения маршрута, что демонстрирует применимость данного метода к задаче сглаживания маршрута и устранения пиков. Однако для дальнейшего повышения качества алгоритма необходима дополнительная обработка последовательности координат с целью Молодежный научно-технический вестник ФС, ISSN

7 устранения избыточных точек, возникающих при отсутствии движения наблюдаемого объекта. Список литературы 1. Yadav J., Giri R., Meena L. Error handling in GPS data processing // Mausam Vol. 62. No. 1. P Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems // Transactions of the ASME Journal of Basic Engineering Vol. 82. No. Series D. PP Welch G., Bishop G. An Introduction to the Kalman Filter: Tech. Rep. TR Available at: accessed Vincenty T. Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations // Survey Review apr. Vol. 23. No PP

УДК 519.711.2 Алгоритм оценки параметров ориентации космического аппарата с использованием фильтра Калмана Д. И. Галкин 1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 155, Россия Дано описание построения фильтра Калмана

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ российской ФЕДЕРАЦИИ ГОСТ Р 53608-2009 Глобальная навигационная спутниковая система МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ВЫПОЛНЕНИЯ

БАЙЕСОВСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ В И Лобач Белорусский государственный университет Минск Беларусь E-mail: lobach@bsub Рассматривается метод прогнозирования

УДК 681.5(07) ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ Д.Н. Вятченников, В.В. Кособуцкий, А.А. Носенко, Н.В. Плотникова Недостаточная информация об объектах при разработке их

Сер. 0. 200. Вып. 4 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 539.3 В. В. Карелин ШТРАФНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ НАБЛЮДЕНИЯ. Введение. Статья посвящена проблеме

УДК 63.1/.7 АЛГОРИТМЫ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В РАДИОЛОКАЦИОННОЙ СТАНЦИИ С РАЗЛИЧНЫМИ ВИДАМИ МАТРИЦЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПЕРЕСЧЕТА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КООРДИНАТЫ УГЛА МЕСТА Яницкий А.А. научный руководитель

УДК 5979 + 5933 Г А Омарова Èíñòèòóò âû èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ ïð Àêàä Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê, 630090, Ðîññèÿ E-mail: gulzira@ravccru Статистическая модель движения

Введение в робототехнику Лекция 12. Часть 2. Навигация и картографирование. SLAM SLAM Simultaneous Localization And Mapping (одновременная локализация и картографирование) Задача SLAM является одной из

Конспект лекции «Линейные динамические системы. Фильтр Калмана.» по спецкурсу «Структурные методы анализа изображений и сигналов» 211 Ликбез: некоторые свойства нормального распределения. Пусть x R d распределен

Система локализации робота на основе полусферической камеры Александр Овчинников, Хоа Фан Кафедра Радиоэлектронники Тульский Государственный Университет, Тула, Россия [email protected], [email protected]

Труды МАИ Выпуск 84 УДК 57:5198 wwwmairu/science/trudy/ Определение погрешностей бескарданной инерциальной навигационной системы в режиме рулежки и разгона Вавилова НБ* Голован АА Кальченко АО** Московский

# 08, август 2016 УДК 004.93"1 Нормализация данных 3D камеры с использованием метода главных компонент для решения задачи распознавания поз и поведения пользователей Умного дома Малых Д.А., студент Россия,

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт» Кафедра приборов и систем ориентации и навигации Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Навигационные

УДК 629.78.018:621.397.13 МЕТОД ПАРНЫХ РАССТОЯНИИ В ЗАДАЧЕ ПОЛЕТНОЙ ЮСТИРОВКИ АСТРОДАТЧИКОВ СИСТЕМЫ ОРИЕНТАЦИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Б.М. Суховилов По мере улучшения точности и надежности астрономических

УДК 629.05 Решение задачи навигации с помощью бесплатформенной инерциальной системы навигации и системы воздушных сигналов Мкртчян В.И., студент, кафедра «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации»

МОДЕЛЬ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА- ОПЕРАТОРА ПРИ РАСПОЗНАВАНИИ ОБРАЗОВ ОБЪЕКТОВ Ю.С. Гулина, В.Я. Колючкин Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Изложена математическая

РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ 2015, том 2, выпуск 3, c. 79 83 УДК 681.3.06 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ, ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И СИСТЕМЫ ТЕЛЕМЕТРИИ

Линейные динамические системы. Фильтр Калмана. Ликбез: некоторые свойства нормального распределения Плотность распределения.4.3.. -4 x b.5 x b =.7 5 p(x a x b =.7) - x p(x a,x b) p(x a) 4 3 - - -3 x.5

УДК 621.396.671 О. С. Л и т в и н о в, А. А. Г и л я з о в а ОЦЕНКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА СОБСТВЕННЫХ ДИАГРАММ ВОЗДЕЙСТВИЯ ГРУПП ПОМЕХ НА ПРИЕМ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ЛИНЕЙНОЙ ЭКВИДИСТАНТНОЙ АДАПТИВНОЙ АНТЕННОЙ

УДК 681.5.15.44 ПРОНОЗИРОВАНИЕ КУСОЧНО-СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Е.Ю. Алексеева Рассматриваются дискретные случайные процессы содержащие параметры меняющиеся скачкообразно в случайные моменты времени. Для

УДК 63966 ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕ БЕЛЫХ ШУМАХ Г Ф Савинов В работе получен алгоритм оптимального фильтра для случая когда входные воздействия и шумы представляют собой случайные гауссовы

Определение колебательных движений нежёстких элементов спутника с помощью обработки видеоизображения Д.О. Лазарев Московский физико-технический институт Научный руководитель, к.ф.-м.н.: Д.С. Иванов, Институт

УДК 004 О МЕТОДАХ ОТСЛЕЖИВАНИЯ И ТРЕКИНГА ОБЪЕКТА НА ВИДЕОПОТОКЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СИСТЕМЕ ВИДЕОАНАЛИТИКИ ДЛЯ СБОРА И АНАЛИЗА МАРКЕТИНГОВЫХ ДАННЫХ Чезганов Д.А., Сериков О.Н. Южно-Российский государственный

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск 66 www.ma.u/scence/tud/ УДК 69.78 Модифицированный навигационный алгоритм для определения положения ИСЗ по сигналам GS/ГЛОНАСС Куршин А. В. Московский авиационный

УДК 621.396.96 Исследование алгоритма завязки и подтверждения траекторий по критерию M из N Чернова Т.С., студент кафедры «Радиоэлектронные системы и устройства», Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э.

ТЕОРІЯ ТА ПРАКТИКА НАВІГАЦІЙНИХ ПРИЛАДІВ І СИСТЕМ УДК 531.383 ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПОВОРОТА СТЕНДА НА ТОЧНОСТЬ КА- ЛИБРОВКИ БЛОКА ГИРОСКОПОВ И АКСЕЛЕРОМЕТРОВ Аврутов В. В., Мазепа Т. Ю. Национальный технический

Лекция 6 Характеристики портфелей В предыдущих лекциях неоднократно употреблялся термин «портфель» Для математической постановки задачи о выборе оптимального портфеля необходимо строгое определение этого

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПРОПУСКАМИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Р. И. Меркулов В. И. Лобач Белорусский государственный университет Минск Беларусь e-mail: [email protected] [email protected]

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 51971 В Н АРСЕНЬЕВ, А Г КОХАНОВСКИЙ, А С ФАДЕЕВ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ИЗОХРОННЫХ ВАРИАЦИЙ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ПАРАМЕТРОВ

Труды МАИ. Выпуск 89 УДК 629.051 www.mai.ru/science/trudy/ Калибровка бесплатформенной инерциальной навигационной системы при повороте вокруг вертикальной оси Матасов А.И.*, Тихомиров В.В.** Московский

Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

УДК 62.396.26 Л.А. Подколзина, К.. Другов АЛГОРИТЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРАЦИИ В НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕАХ НАЗЕНЫХ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ КАНАЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЕСТОПОЛОЖЕНИЯ Для определения координат и параметров

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПРОПУСКАМИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ С. В. Лобач Белорусский государственный университет Минск, Беларусь е-mail: [email protected]

Математичні методи обробки даних УДК 6.39 С. Я. Жук.. Кожешкурт.. Юзефович Национальный технический университет Украины «КП» просп. Победы 37 356 Киев Украина нститут проблем регистрации информации НАН

Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем (рис: О с одной входной х и одной

Оценка параметров ориентации космического аппарата с использованием фильтра Калмана Студент, кафедра «Системы автоматического управления»: Д.И. Галкин Научный руководитель: А.А. Карпунин, к.т.н., доцент

5. Мелешко В.В. Бесплатформенные инерциальные навигационные системы: Учебн. пособ. / В.В. Мелешко, О.И. Нестеренко. Кировоград: ПОЛИМЕД-Сервис, 211. 172 с. Надійшла до редакції 17 квітня 212 року ÓКостюк

УДК 004.896 Применение геометрических преобразований для анаморфирования изображений Канев А.И., специалист Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Системы обработки информации и управления»

4. Методы Монте-Карло 1 4. Методы Монте-Карло Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. Они обязаны своим названием

Полосовая фильтрация 1 Полосовая фильтрация В предыдущих разделах была рассмотрена фильтрация быстрых вариаций сигнала (сглаживание) и его медленных вариаций (устранение тренда). Иногда требуется выделить

[ЗАМЕТКИ] Пояснение Основ фильтра Калмана С помощью Простого и интуитивно понятного Выведения Рэмси Фарахер та статья предоставляет Э простой и интуитивный вывод фильтра Калмана, с целью обучения этому

УДК 004.932 Алгоритм классификации отпечатков пальцев Ломов Д.С., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Программное обеспечение ЭВМ и информационные технологии» Научный руководитель:

Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Динамика рождаемости по Чувашской республике Содержание Введение 1. Общая тенденция рождаемости населения Чувашской республики 2. Основная тенденция рождаемости 3. Динамика рождаемости городского и сельского

IN 1990-5548 Електроніка та системи управління. 2011. 4(30) 73 УДК656.7.052.002.5:681.32(045) В. М. Синеглазов, д-р техн. наук, проф., Ш. И. Аскеров ОПТИМАЛЬНАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ В НАВИГАЦИОННЫХ

УДК 004.896 Особенности реализации алгоритма для отображения результатов анаморфирования Канев А.И., специалист Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Системы обработки информации и

177 УДК 658.310.8: 519.876.2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ПРИ РЕЗЕРВИРОВАНИИ ДАТЧИКОВ Л.И. Лузина В статье рассматривается возможный подход для получения новой схемы резервирования датчиков. Традиционная

СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. 28. 4(54). 37 44 УДК 59.24 О КОМПЛЕКСЕ ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ Г.В. ТРОШИНА Рассмотрен комплекс программ

УДК 625.1:519.222:528.4 С.И. Долганюк С.И. Долганюк, 2010 ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ НАВИГАЦИОННОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ПОЗИЦИОНИРОВАНИИ МАНЕВРОВЫХ ЛОКОМОТИВОВ ЗА СЧЕТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПУТЕВОГО РАЗВИТИЯ

УДК 531.1 АДАПТАЦИЯ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ С ЛОКАЛЬНОЙ И ГЛОБАЛЬНОЙ СИСТЕМАМИ НАВИГАЦИИ А.Н.Забегаев ([email protected]) В.Е.Павловский ([email protected]) Институт прикладной математики им.

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ УДК 68.58.3 А. Г. Шпекторов, В. Т. Фам Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) Анализ применения микромеханических

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые

Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность (6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

58-я научная конференция МФТИ Секция динамики и управления движением космических аппаратов Система определения движения макетов системы управления на аэродинамическом столе с использованием видеокамеры

Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

УДК 621.396 ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ МНОГОПОЗИЦИОННОЙ РАДИОЛОКАЦИОНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ КАНАЛА УГЛА МЕСТА Борисов А.Н., Глинченко В.А., Назаров А.А., Исламов Р.В., Сучков П.В. Научный

Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

УДК 004.352.242 Восстановление смазанных изображений путем решения интегрального уравнения типа свертки Иванникова И.А., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра «Системы автоматизированного

АЭРОГРАВИМЕТРИЧЕСКАЯ СЪЕМКА ПРИ СТАНДАРТНОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ GPS Могилевский В.Е. АО «ГНПП «Аэрогеофизика» Важнейшим элементом, определяющим успех аэрогеофизических исследований, является качественное навигационное

АНАЛИЗ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ФИЛЬТРАЦИИ КАЛМАНА И.П. Гуров, П.Г. Жиганов, А.М. Озерский Рассматриваются особенности динамической обработки стохастических сигналов с использованием дискретных

УДК АА Минко ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА ПО РЕАКЦИИ НА ГАРМОНИЧЕСКИЙ СИГНАЛ Предложен алгоритм обобщенной идентификации на основе интегральных двупараметрических преобразований Гаусса линейного стационарного

ЛЕКЦИЯ. Оценка комплексной амплитуды сигнала. Оценка времени запаздывания сигнала. Оценка частоты сигнала со случайной фазой. Совместная оценка времени запаздывания и частоты сигнала со случайной фазой.

Вычислительные технологии Том 18, 1, 2013 Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений А. С. Овсиенко Самарский государственный технический университет, Россия e-mail:

1 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОНЪЮНКТУРЫ РЫНКА НЕФТЕХИМИЧЕКСИХ ПРЕДПРИЯТИЙ Кордунов Д.Ю., Битюцкий С.Я. Введение. В современных условиях хозяйствования, которые характеризуются быстрым развитием мировых интеграционных

Задача одновременной локализации и построения карты (SLAM) Робошкола-2014 Андрей Антонов robotosha.ru 10 октября 2014 г. План 1 Основы SLAM 2 RGB-D SLAM 3 Робот Андрей Антонов (robotosha.ru) Задача SLAM

УДК 004.021 Т. Н. Р о м а н о в а, А. В. С и д о р и н, В. Н. С о л я к о в, К. В. К о з л о в СИНТЕЗ МОНОХРОМНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ИЗ МНОГОДИАПАЗОННОГО ПОСТРОЕНИЕМ ПАЛИТРЫ С ПОМОЩЬЮ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Цифровая Обработка Сигналов /9 УДК 69.78 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПО СИГНАЛАМ СПУТНИКОВЫХ РАДИОНАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ Алешечкин А.М. Введение Режим определения

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ Позднякова Н.С., Торшина И.П. Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет оптико-информационных

Труды ИСА РАН 009. Т. 46 III. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Стационарные состояния в нелинейной модели переноса заряда в ДНК * Стационарные состояния в нелинейной модели переноса заряда в